Fondamenti della meccanica atomica
(1) Applicandola p. es. al gruppo d'onde della fig. 19, questa definizione darebbe (approssimativamente) .
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è sempre > O. Sviluppando questa espressione si ha
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Questa funzione è rappresentata da una curva di andamento sinusoidale iscritta entro la curva
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Per meglio comprendere la portata di questa impossibilità giova discutere alcune apparenti infrazioni.
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Da questa e dalla (101) si ha allora, conformemente a (94')
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Da Questa e dalla (107) si ricava
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Affinchè questa valga per qualunque , basta prendere
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È questa l'espressione cercata per la densità di flusso (probabilistica).
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Questa formula rappresenta (v. § 12) un treno di onde piane progressive di lunghezza d'onda
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Si noti che questa relazione determina solo il modulo di , lasciandone arbitrario l'argomento : scriveremo dunque:
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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Cerchiamo di integrare questa equazione con una serie della forma
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Per calcolare questa espressione conviene trattare separatamente i due casi di e :
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Questa equazione ben nota si può integrare col metodo della separazione delle variabili, cioè ponendo
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(1) Adoperiamo questa lettera per conformarci all'uso ormai universale, sebbene m, indichi pure la massa della particella.
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e cercando di soddisfare questa con la serie (234), si trova per le la formula ricorrente
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Si osservi che i polinomi di Laguerre non sono autofunzioni di questa equazione, nè sono ortogonali: però godono la proprietà (che si può dimostrare
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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È questa l'ipotesi dell' elettrone rotante, cui si è accennato al § 25, p. I, dove si è spiegata la ragione di questa impropria denominazione. Si
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e quindi, sostituendo nell'espressione di X, questa diventa una serie doppia
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Questa si chiama matrice unità e si indica con 1 }.
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Questa proprietà, equivalente alla (34), caratterizza le matrici che diconsi unitarie.
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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Sostituendo questa, insieme alla (48), nella condizione di hermiticità (46), si ricava
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Confrontando questa con la (62), si ricava
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Una matrice, come questa, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale (elementi diagonali) dicesi matrice diagonale
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Infatti, se questa è soddisfatta si ha (detti due tratti infinitesimi dello spettro continuo di autovalori)
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Si osservi che questa definizione, se X, Y, Z,... sono compatibili tra loro, non è in contrasto con quella data sopra per una funzione di più
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Trasformiamo questa espressione in operatore, come si è fatto nel caso di una sola particella, sostituendo
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Ora, si vede subito che questa equazione può essere soddisfatta prendendo
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Questa equazione ha per autovalore qualunque valore di , e dà, con immediata integrazione,
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Questa espressione si ottiene non dalla (105), ma dalla seguente (che algebricamente equivale a quella):
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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Se vogliamo legare questa rappresentazione al metodo degli operatori, ricorderemo (v. § 5) che gli elementi di questa matrice si ottengono
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Nello sviluppare questa espressione si osservi che, per la (190) e la prima delle (182),
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Da questa ricaviamo, per
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Sostituendo questa espressione in luogo del terzo termine della (207), si vede che il secondo termine di questa si elide con la sommatoria della (208
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Questa si potrà sviluppare mediante le funzioni ortogonali ; avremo
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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sostituendo questa espressione nella (255) si ha, con facile calcolo,
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Affinchè questa si identifichi con la (256), deve essere:
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La parentesi quadra al secondo membro di questa equazione si identifica con l'operatore della (244), e quindi questa equazione coincide con quella
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Ora, si verifica facilmente, tenendo presenti le (301), che questa è soddisfatta prendendo
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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sostituendo questa nella (327), e tenendo presente la (303') la formula che definisce diviene:
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poichè con questa sostituzione essa si riduce alla (300) come si verifica immediatamente. A questa corrisponde, a norma della (303),
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Ora, questa può essere soddisfatta prendendo
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possono essere al più due elettroni aventi questa tema di numeri quantici orbitali (o, come si dice brevemente, questa «orbita»). In questa forma fu
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Questa teoria permette di spiegare molte particolarità del fenomeno della risonanza, che restano inesplicate nella teoria classica.
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Moltiplicando questa per yne la (16) per , e sottraendo, si ha
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Accademia della crusca
